Precalcolo Esempi

$2 x^{2} < 13 x + 7$

Passaggio 1

Sottrai $13 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x^{2} - 13 x < 7$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} - 13 x = 7$

Passaggio 3

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Passaggio 4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ e la cui somma è $b = - 13$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $- 13$ da $- 13 x$ .

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $- 13$ come $1$ più $- 14$ .

$2 x^{2} + (1 - 14) x - 7 = 0$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 14 x - 7 = 0$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 14 x - 7 = 0$

Passaggio 4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + x) - 14 x - 7 = 0$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x + 1) - 7 (2 x + 1) = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 7) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 6

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (x - 7) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 7$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 3)}^{2} < 13 (- 3) + 7$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $18$ non è minore del lato destro di $- 32$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} < 13 (0) + 7$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(10)}^{2} < 13 (10) + 7$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $200$ non è minore del lato destro di $137$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{1}{2} < x < 7$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \frac{1}{2}, 7)$

Passaggio 13