Precalcolo Esempi

$\sqrt{2 x + 6}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{2 y + 6}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{2 y + 6} = x$ .

$\sqrt{2 y + 6} = x$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 y + 6}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 y + 6}$ come ${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 y + 6)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica.

$2 y + 6 = x^{2}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = x^{2} - 6$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = x^{2} - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = x^{2} - 6$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi $- 6$ per $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(\sqrt{2 x + 6})}^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x) + 6}}^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 x + 2 \cdot 3}}^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$ come $2 (x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (x + 3)}$ come ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.2.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 6}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.5

Scomponi $2$ da $2 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x) + 6}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.1.5.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Passaggio 4.2.3.2.2

Dividi $x + 3$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 3 - 3$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x + 3 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{2} - 3)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $2$ da $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $2$ da $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 + 3)}$

Passaggio 4.3.4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $\frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Passaggio 4.3.5

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.3.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x^{2}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.3.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Passaggio 4.3.6.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 4.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$