Precalcolo Esempi

$y = - 2 x^{2} - 5 x - 1$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = - 2 y^{2} - 5 y - 1$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 y^{2} - 5 y - 1 = x$ .

$- 2 y^{2} - 5 y - 1 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y^{2} - 5 y - 1 - x = 0$

Passaggio 2.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4

Sostituisci i valori $a = - 2$ , $b = - 5$ e $c = - 1 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot (- 1 - x))}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.5.1.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.5.1.6

Sottrai $8$ da $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Passaggio 2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.6.1.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.6.1.6

Sottrai $8$ da $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Passaggio 2.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 2.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.7.1.6

Sottrai $8$ da $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Passaggio 2.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 2.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

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Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

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Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{17}{8}]$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $- \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{17 - 8 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$17 - 8 x \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $17$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 8 x \geq - 17$

Passaggio 4.3.2.2

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x \geq - 17$ e semplifica.

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Passaggio 4.3.2.2.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x \geq - 17$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 8 x}{- 8} \leq \frac{- 17}{- 8}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

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Passaggio 4.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 x}{- 8} \leq \frac{- 17}{- 8}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 17}{- 8}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x \leq \frac{17}{8}$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, \frac{17}{8}]$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

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Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ è l'intervallo di $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ è il dominio di $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Passaggio 5