Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$ è indefinita.

$x = 1$

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x - 1}$

Passaggio 6.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 6.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x - 1}$

Passaggio 6.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x - 1}{1}$

Passaggio 6.1.2.2.4

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$x - 1$

Passaggio 6.2

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x - 1$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x - 1$

Passaggio 8