Precalcolo Esempi

2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3 = 0

$2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

Passaggio 1

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 3$

Passaggio 2

Poiché ci sono

4

$4$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo

4

$4$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es.

(4 - 2)

$(4 - 2)$ ).

Radici positive:

4

$4$ ,

2

$2$ , or

0

$0$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci

x

$x$ con

- x

$- x$ e ripeti il confronto dei segni.

f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a

- x

$- x$ .

f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.2

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

4

$4$ .

f (- x) = 2 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.3

Moltiplica

x^{4}

$x^{4}$ per

1

$1$ .

f (- x) = 2 x^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} - {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a

- x

$- x$ .

f (- x) = 2 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.5

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

{(- 1)}^{3}

${(- 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sposta

{(- 1)}^{3}

${(- 1)}^{3}$ .

f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica

{(- 1)}^{3}

${(- 1)}^{3}$ per

- 1

$- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

1

$1$ .

f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.5.2.2

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.5.3

Somma

3

$3$ e

1

$1$ .

f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.6

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

4

$4$ .

f (- x) = 2 x^{4} + 1 x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + 1 x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.7

Moltiplica

x^{3}

$x^{3}$ per

1

$1$ .

f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 {(- x)}^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.8

Applica la regola del prodotto a

- x

$- x$ .

f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.9

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 (1 x^{2}) - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 (1 x^{2}) - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.10

Moltiplica

x^{2}

$x^{2}$ per

1

$1$ .

f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} - 5 (- x) + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} - 5 (- x) + 3$

Passaggio 4.11

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 5

$- 5$ .

f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3$

f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3

$f (- x) = 2 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3$

Passaggio 5

Poiché ci sono

0

$0$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo

0

$0$ radici negative (Regola di Cartesio).

Radici negative:

0

$0$

Passaggio 6

Il numero di radici positive possibili è

4

$4$ ,

2

$2$ , or

0

$0$ e il numero di radici negative possibili è

0

$0$ .

Radici positive:

4

$4$ ,

2

$2$ , or

0

$0$

Radici negative:

0

$0$