Precalcolo Esempi

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 2)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x + 2)$ per $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B) (2 x + 1)$ per $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (2 x + 1)$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + 2 A + B (2 x) + B \cdot 1$

Passaggio 1.6.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A x + 2 A + 2 B x + B \cdot 1$

Passaggio 1.6.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A x + 2 A + 2 B x + B$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $B$ .

$1 = A x + 2 A + 2 x B + B$

Passaggio 1.7.2

Sposta $2 A$ .

$1 = A x + 2 x B + 2 A + B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + 2 B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 2 A + B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + 2 B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = 2 A + B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + 2 B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = 2 A + B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 2 B$

$1 = 2 A + B$

$A = - 2 B$

$1 = 2 A + B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = 2 A + B$ con $- 2 B$ .

$1 = 2 (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- 2 B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$1 = - 4 B + B$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 4 B$ e $B$ .

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

$1 = - 3 B$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 B = 1$ .

$- 3 B = 1$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = 1$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - 2 B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{1}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - 2 B$ con $- \frac{1}{3}$ .

$A = - 2 (- \frac{1}{3})$

$B = - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$A = 2 (\frac{1}{3})$

$B = - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{2}{3}, B = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 2}$