Precalcolo Esempi

$\frac{8 x^{3} + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $8 x^{3} + 13 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $8 x^{3}$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x$ da $13 x$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + x \cdot 13}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $x (8 x^{2}) + x \cdot 13$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $x (8 x^{2} + 13)$ per $1$ .

$x (8 x^{2} + 13) = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (8 x^{2}) + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.5.3

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x \cdot x^{2} + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta $13$ alla sinistra di $x$ .

$8 x \cdot x^{2} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{2 + 1} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$8 x^{3} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $A x + B$ per $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.7.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 2)}^{2}$ e $x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Scomponi $x^{2} + 2$ da $(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 2)}{1}$

Passaggio 1.7.2.2.4

Dividi $(C x + D) (x^{2} + 2)$ per $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 2)$

Passaggio 1.7.3

Espandi $(C x + D) (x^{2} + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x (x^{2} + 2) + D (x^{2} + 2)$

Passaggio 1.7.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D (x^{2} + 2)$

Passaggio 1.7.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Passaggio 1.7.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Passaggio 1.7.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Passaggio 1.7.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Passaggio 1.7.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

Passaggio 1.7.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 2$

Passaggio 1.7.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $D$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + 2 D$

Passaggio 1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta $B$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + B + 2 D$

Passaggio 1.8.2

Sposta $2 C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + D x^{2} + 2 C x + B + 2 D$

Passaggio 1.8.3

Sposta $A x$ .

$8 x^{3} + 13 x = C x^{3} + D x^{2} + A x + 2 C x + B + 2 D$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$8 = C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = D$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$13 = A + 2 C$

Passaggio 2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + 2 D$

Passaggio 2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 8$ .

$C = 8$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $8$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi l'equazione come $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 8$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $13 = A + 2 C$ con $8$ .

$13 = A + 2 (8)$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A + 16 = 13$ .

$A + 16 = 13$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 13 - 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $16$ da $13$ .

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $0 = B + 2 D$ con $0$ .

$0 = B + 2 (0)$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Semplifica $B + 2 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 = B + 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Passaggio 3.3.4.1.2

Somma $B$ e $0$ .

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'equazione come $B = 0$ .

$B = 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

Passaggio 3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 0 A = - 3 D = 0 C = 8$

Passaggio 3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 0, A = - 3, D = 0, C = 8$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{- 3 x + 0}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x + 0}{x^{2} + 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $(- 3) \cdot x$ e $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{x^{2} + 2}$

Passaggio 5.2

Somma $(8) \cdot x$ e $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x}{x^{2} + 2}$