Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x - 3}{3 x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x - 3$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(3 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $3 x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (3 x + 1) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{4 (3 x + 1) - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Combina i termini opposti in $4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $4 (3 x)$ e $- 3 (4 x)$ .

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 1 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Sottrai $3 \cdot 4 x$ da $3 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $4 \cdot 1$ e $0$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{4 + 9}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $4$ e $9$ .

$\frac{13}{{(3 x + 1)}^{2}}$