Precalcolo Esempi

${(3 x + 4 y)}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile usare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla retta $n + 1$ del triangolo. Per ${(3 x + 4 y)}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla retta $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $3 x$ e $b$ $4 y$ nell'espressione.

$1 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(3 x)}^{5}$ per $1$ .

${(3 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.3

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$243 x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $4 y$ .

$243 x^{5} (4^{0} y^{0}) + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$243 \cdot 4^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$243 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $243$ per $1$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $243$ per $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.11

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.12

Moltiplica $81$ per $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.13

Semplifica.

$243 x^{5} + 405 x^{4} (4 y) + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.14

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$243 x^{5} + 405 \cdot 4 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $405$ per $4$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.16

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 (3^{3} x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.17

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 (27 x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $27$ per $10$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 x^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.19

Applica la regola del prodotto a $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 x^{3} (4^{2} y^{2}) + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.20

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 \cdot 4^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.21

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 \cdot 16 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.22

Moltiplica $270$ per $16$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.23

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 (3^{2} x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.24

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 (9 x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.25

Moltiplica $9$ per $10$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.26

Applica la regola del prodotto a $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} (4^{3} y^{3}) + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.27

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 \cdot 4^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.28

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 \cdot 64 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.29

Moltiplica $90$ per $64$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.30

Semplifica.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 5 (3 x) {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.31

Moltiplica $3$ per $5$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 x {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.32

Applica la regola del prodotto a $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 x (4^{4} y^{4}) + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.33

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 4^{4} x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.34

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 256 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.35

Moltiplica $15$ per $256$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.36

Moltiplica ${(3 x)}^{0}$ per $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.37

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 3^{0} x^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.38

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 x^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.39

Moltiplica $x^{0}$ per $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + x^{0} {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.40

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.41

Moltiplica ${(4 y)}^{5}$ per $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + {(4 y)}^{5}$

Passaggio 4.42

Applica la regola del prodotto a $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 4^{5} y^{5}$

Passaggio 4.43

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1024 y^{5}$