Precalcolo Esempi

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y - 426 = 0$

Passaggio 1

Somma $426$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $6 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 6$

$b = - 12$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (6)}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 6}{6}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $6$ .

$e = 0 - \frac{144}{24}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Dividi $144$ per $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 6$

Passaggio 2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$e = 0 - 6$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$e = - 6$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$

Passaggio 3

Sostituisci $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ a $6 x^{2} - 12 x$ nell'equazione $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6 + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Passaggio 4

Sposta $- 6$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $6$ a entrambi i lati.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 y^{2} + 108 y = 426 + 6$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $54 y^{2} + 108 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 54$

$b = 108$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{108}{2 \cdot 54}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $108$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $108$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 54$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (54)}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{54}{54}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{54}{54}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{108^{2}}{4 \cdot 54}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $108$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 54}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $54$ .

$e = 0 - \frac{11664}{216}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Dividi $11664$ per $216$ .

$e = 0 - 1 \cdot 54$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $54$ .

$e = 0 - 54$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $54$ da $0$ .

$e = - 54$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ .

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$

Passaggio 6

Sostituisci $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ a $54 y^{2} + 108 y$ nell'equazione $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} - 54 = 426 + 6$

Passaggio 7

Sposta $- 54$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $54$ a entrambi i lati.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 426 + 6 + 54$

Passaggio 8

Semplifica $426 + 6 + 54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Somma $426$ e $6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 432 + 54$

Passaggio 8.2

Somma $432$ e $54$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 486$

Passaggio 9

Dividi per $486$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{6 {(x - 1)}^{2}}{486} + \frac{54 {(y + 1)}^{2}}{486} = \frac{486}{486}$

Passaggio 10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 11

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 12

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 9$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 1$

Passaggio 13

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 14

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

Passaggio 15.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

Passaggio 15.1.4

Sottrai $9$ da $81$ .

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

Passaggio 15.1.5

Riscrivi $72$ come $6^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.5.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

Passaggio 15.1.5.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

Passaggio 15.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scomponi $3$ da $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

Passaggio 15.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

Passaggio 15.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Forma decimale:

$0.94280904 \dots$

Passaggio 17