Precalcolo Esempi

$p (x) = x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ uguale a $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - - 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 - 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 + 2 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.7

Somma $2$ e $2$ .

$4 - 4$

Passaggio 2.1.1.3.8

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 2 x - 4}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} + 2 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

Passaggio 2.1.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

Passaggio 2.1.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
									-	$4 x$	-	$4$
									-	$4 x$	-	$4$

Passaggio 2.1.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x - 4$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Passaggio 2.1.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Passaggio 2.1.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((x^{3} - 2 x^{2}) + 2 x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x^{2} (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

$(x + 1) ((x - 2) (x^{2} + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 2$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.2.3.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{2}$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$ vera.

$x = - 1, 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 3