Precalcolo Esempi

$f (x) = \csc (x) + \sqrt{2}$

Passaggio 1

Imposta $\csc (x) + \sqrt{2}$ uguale a $0$ .

$\csc (x) + \sqrt{2} = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $\sqrt{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Il valore esatto di $arccsc (- \sqrt{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.4

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 2.6

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 2.7.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 2.8

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3