Precalcolo Esempi

$x^{3} - 8 x^{2} \leq - 15 x$

Passaggio 1

Aggiungi $15 x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} - 8 x^{2} + 15 x \leq 0$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 8 x^{2} + 15 x = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 8 x^{2} + 15 x$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 8 x^{2} + 15 x = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x$ da $- 8 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + 15 x = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x$ da $15 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 15 = 0$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 8 x)$ .

$x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 15 = 0$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 15$ .

$x (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2} - 8 x + 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 5, - 3$

Passaggio 3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$x ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 5) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 5, 3$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{3} - 8 {(- 2)}^{2} \leq - 15 \cdot - 2$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 40$ è minore del lato destro di $30$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{3} - 8 {(2)}^{2} \leq - 15 \cdot 2$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 24$ è maggiore del lato destro di $- 30$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} \leq - 15 \cdot 4$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 64$ è minore del lato destro di $- 60$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{3} - 8 {(8)}^{2} \leq - 15 \cdot 8$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $0$ è maggiore del lato destro di $- 120$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 0$ o $3 \leq x \leq 5$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 0] \cup [3, 5]$

Passaggio 13