Precalcolo Esempi

$x^{4} > 16 x^{2}$

Passaggio 1

Sottrai $16 x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{4} - 16 x^{2} > 0$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi.

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Passaggio 3.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 7

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4, 4$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{4} > 16 {(- 6)}^{2}$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $1296$ è maggiore del lato destro di $576$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{4} > 16 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $16$ non è maggiore del lato destro di $64$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{4} > 16 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $16$ non è maggiore del lato destro di $64$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{4} > 16 {(6)}^{2}$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $1296$ è maggiore del lato destro di $576$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 4$ o $x > 4$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 13