Precalcolo Esempi

$6 x < \frac{36}{x + 5}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{36}{x + 5}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$6 x - \frac{36}{x + 5} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $6 x - \frac{36}{x + 5}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $6 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 x (x + 5)}{x + 5} - \frac{36}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 x (x + 5) - 36}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1

Scomponi $6$ da $6 x (x + 5) - 36$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $6$ da $6 x (x + 5)$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) - 36}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3.1.2

Scomponi $6$ da $- 36$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3.1.3

Scomponi $6$ da $6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6$ .

$\frac{6 (x (x + 5) - 6)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (x \cdot x + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3.4

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + 5 \cdot x - 6)}{x + 5} < 0$

Passaggio 2.3.5

Scomponi $x^{2} + 5 x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $5$ .

$- 1, 6$

Passaggio 2.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{6 ((x - 1) (x + 6))}{x + 5} < 0$

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 6

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = - 6$

$x = - 5$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 1, - 6, - 5$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 5 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$6 (- 8) < \frac{36}{(- 8) + 5}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 48$ è minore del lato destro di $- 12$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 5.5$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 5.5$ nella diseguaglianza originale.

$6 (- 5.5) < \frac{36}{(- 5.5) + 5}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 33$ non è minore del lato destro di $- 72$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$6 (0) < \frac{36}{(0) + 5}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $7.2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$6 (4) < \frac{36}{(4) + 5}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $24$ non è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 6$ o $- 5 < x < 1$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 6) \cup (- 5, 1)$

Passaggio 14