Precalcolo Esempi

$x^{3} < 2 x^{2} + 3 x$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $2 x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} - 2 x^{2} < 3 x$

Passaggio 1.2

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x < 0$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, 3, - 1$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{3} < 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4)$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 64$ è minore del lato destro di $20$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

${(- 0.5)}^{3} < 2 {(- 0.5)}^{2} + 3 (- 0.5)$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 0.125$ non è minore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{3} < 2 {(2)}^{2} + 3 (2)$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $8$ è minore del lato destro di $14$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{3} < 2 {(6)}^{2} + 3 (6)$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $216$ non è minore del lato destro di $90$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1$ o $0 < x < 3$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 3)$

Passaggio 13