Precalcolo Esempi

$\frac{x - 3}{x + 3} < 2$

Passaggio 1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x - 3}{x + 3} - 2$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} - 2 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.2

$- 2$ e $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{- 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 3 - 2 (x + 3)}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{x - 3 - 2 x - 6}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x - 3 - 6}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $6$ da $- 3$ .

$\frac{- x - 9}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.6

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.8

Riscrivi $- (x + 9)$ come $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{x + 3} < 0$

Passaggio 2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x + 9}{x + 3} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 5

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 9$

$x = - 3$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = - 9, - 3$

Passaggio 8

Trova il dominio di $- \frac{x + 9}{x + 3}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 9}{x + 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 3 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$x > - 3$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 12$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 12$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 12) - 3}{(- 12) + 3} < 2$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $1.\overline{6}$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 9 < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 9 < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 6) - 3}{(- 6) + 3} < 2$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $3$ non è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) - 3}{(0) + 3} < 2$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 9$ Vero

$- 9 < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Vero

$x < - 9$ Vero

$- 9 < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 9$ o $x > - 3$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 9) \cup (- 3, \infty)$

Passaggio 13