Precalcolo Esempi

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y - 4 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci ${(x - 2)}^{2} - 4$ a $x^{2} - 4 x$ nell'equazione $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - 4 y^{2} + 8 y = 4$

Passaggio 1.4

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

${(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 4 + 4$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 4 y^{2} + 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{- 4}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $64$ per $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$e = 4$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ a $- 4 y^{2} + 8 y$ nell'equazione $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 4 + 4$

Passaggio 1.7

Sposta $4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4 + 4 - 4$

Passaggio 1.8

Semplifica $4 + 4 - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $4$ e $4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 8 - 4$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $4$ da $8$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Passaggio 1.9

Dividi per $4$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(2, 1)$

Passaggio 5