Precalcolo Esempi

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

Scambia le variabili.

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $3^{y} + 2 = x$ .

$3^{y} + 2 = x$

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3^{y} = x - 2$

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

Espandi $\ln (3^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{x} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Calcola $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

Combina i termini opposti in $3^{x} + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Somma $3^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Calcola $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{x} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$