Precalcolo Esempi

$y = 2 x^{2} - 5$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 2 y^{2} - 5$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2 y^{2} - 5 = x$ .

$2 y^{2} - 5 = x$

Passaggio 2.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} = x + 5$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = x + 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = x + 5$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 5}{2}}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{x + 5}{2}}$ come $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 2.5.6

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} - 5$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 5, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 (x + 5)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 (x + 5) \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 5) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 5) \geq 0$ .

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.1.2

Dividi $x + 5$ per $1$ .

$x + 5 \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x + 5 \geq 0$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 5$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 5, \infty)$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ è l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} - 5$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ è il dominio di $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Passaggio 5