Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 1

Per trovare la simmetria, determina se la funzione è dispari, pari o né pari né dispari.

1. Se dispari, la funzione è simmetrica rispetto all'origine.

2. Se pari, la funzione è simmetrica rispetto all'asse y.

Passaggio 2

Trova $f (- x)$ .

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Passaggio 2.1

Trova $f (- x)$ sostituendo $- x$ in ogni occorrenza di $x$ in $f (x)$ .

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 {(- x)}^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 4 (- x^{3}) + 4 {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 {(- x)}^{2}$

Passaggio 2.2.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Passaggio 2.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 (1 x^{2})$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Passaggio 3

Una funzione è pari se $f (- x) = f (x)$ .

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Passaggio 3.1

Verifica se $f (- x) = f (x)$ .

Passaggio 3.2

Poiché $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ , la funzione non è pari.

La funzione non è pari

Passaggio 4

Una funzione è dispari se $f (- x) = - f (x)$ .

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Passaggio 4.1

Trova $- f (x)$ .

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$ per $- 1$ .

$- f (x) = - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- f (x) = - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Passaggio 4.2

Poiché $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$ $\neq$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$ , la funzione non è dispari.

La funzione non è dispari

Passaggio 5

La funzione non è né dispari né pari

Passaggio 6

Poiché la funzione è non dispari, non è simmetrica rispetto all'origine.

Nessuna simmetria rispetto all'origine

Passaggio 7

Poiché la funzione è non pari, non è simmetrica rispetto all'asse y.

Nessuna simmetria rispetto all'asse y

Passaggio 8

Poiché la funzione non è né pari né dispari, non c'è simmetria né rispetto all'origine, né rispetto all'asse y.

La funzione non è simmetrica

Passaggio 9