Precalcolo Esempi

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ .

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ .

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $10$ da $10 \sqrt{3}$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Scomponi $10$ da $20$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini non contenenti $t$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

Passaggio 5.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

Passaggio 5.6.3

Somma $2 π$ e $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 7.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Passaggio 7.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Passaggio 7.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = 2 (\frac{5}{3})$

Passaggio 7.2.1.3

$2$ e $\frac{5}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$t = \frac{10}{3}$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 9

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 9.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 9.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 9.1.3.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $t$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.3

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.2.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.2.4.3

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.4.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Passaggio 9.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Passaggio 9.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

Passaggio 9.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

Passaggio 9.2.6.3

Somma $4 π$ e $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9.4.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

Passaggio 9.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $7 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Passaggio 9.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Passaggio 9.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = 2 (\frac{7}{3})$

Passaggio 9.4.2.1.3

$2$ e $\frac{7}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

Passaggio 9.4.2.1.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$t = \frac{14}{3}$

Passaggio 10

Trova il periodo di $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.2

Sostituisci $b$ con $\frac{π}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Passaggio 10.3

$\frac{π}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.78539816$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Passaggio 10.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{4}{π}$

Passaggio 10.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Passaggio 10.5.2

Elimina il fattore comune.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Passaggio 10.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 4$

Passaggio 10.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8$

Passaggio 11

Il periodo della funzione $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ è $8$ , quindi i valori si ripetono ogni $8$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ , per qualsiasi intero $n$