Precalcolo Esempi

$\frac{7 x^{2} - x - 16}{x (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $7 x^{2} - x - 16$ per $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$7 x^{2} - x - 16 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $A ((x + 1) (x - 1))$ per $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.6

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.1

Elimina il fattore comune.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.7.2

Dividi $(B) (x (x - 1))$ per $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.8

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.10

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.11

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.12

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.14

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.14.1

Elimina il fattore comune.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 1.7.14.2

Dividi $(C) (x (x + 1))$ per $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Passaggio 1.7.15

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Passaggio 1.7.16

Moltiplica $x$ per $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Passaggio 1.7.17

Moltiplica $x$ per $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Passaggio 1.7.18

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta $B$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Passaggio 1.8.2

Sposta $- A$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Passaggio 1.8.3

Sposta $- x B$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$7 = A + B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 16 = - 1 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 16 = - 1 A$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 16 = - 1 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $- 16 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = - 16$ .

$- 1 A = - 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = - 16$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $16$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $7 = A + B + C$ con $16$ .

$7 = (16) + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $7 = 16 + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $16 + B + C = 7$ .

$16 + B + C = 7$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B + C = 7 - 16$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 7 - 16 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.2.3

Sottrai $16$ da $7$ .

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 9 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 1 = - 1 B + C$ con $- 9 - C$ .

$- 1 = - 1 (- 9 - C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $- 1 (- 9 - C) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = - 1 \cdot - 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$- 1 = 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 1 = 9 + 1 C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.4.2.1.1.3.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $C$ e $C$ .

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.5

Risolvi per $C$ in $- 1 = 9 + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $9 + 2 C = - 1$ .

$9 + 2 C = - 1$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 C = - 1 - 9$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = - 10$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Dividi $- 10$ per $2$ .

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Passaggio 3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 5$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = - 9 - C$ con $- 5$ .

$B = - 9 - (- 5)$

$C = - 5$

$A = 16$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica $- 9 - (- 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$B = - 9 + 5$

$C = - 5$

$A = 16$

Passaggio 3.6.2.1.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 4, C = - 5, A = 16$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{16}{x} + \frac{- 4}{x + 1} + \frac{- 5}{x - 1}$