Precalcolo Esempi

$g (x) = 3 x^{2} e^{2 x}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (x^{2} (e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 e^{2 x} x$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$ .

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 x e^{2 x}$