Precalcolo Esempi

$r = 3 + 2 \sin (θ)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 2 \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [3] + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $3$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [2 \sin (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$0 + 2 \cos (θ)$

Passaggio 1.3

Somma $0$ e $2 \cos (θ)$ .

$2 \cos (θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f'' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = 2 (- \sin (θ))$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (θ) = - 2 \sin (θ)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 \cos (θ) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 0$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\cos (θ) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $θ = \frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $θ = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 12

$θ = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$θ = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $θ = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2 \cdot 1$

Passaggio 13.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 2$

Passaggio 13.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $θ = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.3

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2$

Passaggio 16

$θ = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$θ = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $θ = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 17.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.2.1.3

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 2 \cdot - 1$

Passaggio 17.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 2$

Passaggio 17.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 1$

Passaggio 17.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 18

Questi sono gli estremi locali per $f (θ) = 3 + 2 \sin (θ)$ .

$(\frac{π}{2}, 5)$ è un massimo locale

$(\frac{3 π}{2}, 1)$ è un minimo locale

Passaggio 19