Precalcolo Esempi

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $x^{2} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$d = - 4$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $64$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x^{2} - 8 x$ con ${(x - 4)}^{2} - 16$ nell'equazione $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} + 12 y = - 16$

Passaggio 1.4

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

${(x - 4)}^{2} - 3 y^{2} + 12 y = - 16 + 16$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 3 y^{2} + 12 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{6}{- 3}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $144$ per $- 12$ .

$e = 0 - - 12$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$e = 0 + 12$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$e = 12$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 3 y^{2} + 12 y$ con $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ nell'equazione $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} + 12 = - 16 + 16$

Passaggio 1.7

Sposta $12$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $12$ a entrambi i lati.

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 16 + 16 - 12$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 16 + 16 - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 16$ e $16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 0 - 12$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $12$ da $0$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 12$

Passaggio 1.9

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 12$

Passaggio 1.10

Dividi per $12$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Passaggio 1.11

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 4$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(4, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $4$ e $12$ .

$\sqrt{16}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, 4)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(4, 4), (4, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, 6)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, - 2)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(4, 6), (4, - 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Passaggio 8.3.1.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Passaggio 8.3.1.6

Somma $4$ e $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4}{2}$

Passaggio 8.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$2$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Passaggio 9.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 9.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 9.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 9.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3^{1}}{2}$

Passaggio 9.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Passaggio 11.2.3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Passaggio 11.2.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 4}{3} + 2$

Passaggio 11.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Sposta $- 4$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Passaggio 11.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Passaggio 12.2.3

$x$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$

Passaggio 12.2.4.2

$4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(4, 2)$

Vertici: $(4, 4), (4, 0)$

Fuochi: $(4, 6), (4, - 2)$

Eccentricità: $2$

Asse focale: $\frac{3}{2}$

Asintoti: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Passaggio 15