Precalcolo Esempi

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Passaggio 1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Passaggio 2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x - 1}{x}$ per $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 5

Riduci l'espressione $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Passaggio 7.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

Passaggio 9

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

Passaggio 10

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

Passaggio 11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

Passaggio 12

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$