Precalcolo Esempi

$x^{3} + 5 x^{2} < x + 5$

Passaggio 1

Sottrai $x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} + 5 x^{2} - x < 5$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 5 x^{2} - x = 5$

Passaggio 3

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5 = 0$

Passaggio 4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} + 5 x^{2}) - x - 5 = 0$

Passaggio 4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x + 5) - (x + 5) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 4.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi.

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Passaggio 4.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 4.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 7

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 8

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - 5, - 1, 1$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} < (- 8) + 5$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 192$ è minore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

${(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} < (- 3) + 5$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $18$ non è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} < (0) + 5$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{3} + 5 {(4)}^{2} < (4) + 5$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $144$ non è minore del lato destro di $9$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 5$ o $- 1 < x < 1$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, 1)$

Passaggio 14