Precalcolo Esempi

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi $u^{2} - 80 u + 1024$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $1024$ e la cui somma è $- 80$ .

$- 64, - 16$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

Passaggio 4

Imposta $u - 64$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $u - 64$ uguale a $0$ .

$u - 64 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $64$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 64$

Passaggio 5

Imposta $u - 16$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $u - 16$ uguale a $0$ .

$u - 16 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 16$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 64) (u - 16) = 0$ vera.

$u = 64, 16$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 64$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 9.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{64}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Passaggio 9.2.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 8$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Passaggio 9.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

Passaggio 9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 16$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = 16$

Passaggio 11.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Passaggio 12

La soluzione di $x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ è $x = 8, - 8, 4, - 4$ .

$x = 8, - 8, 4, - 4$

Passaggio 13

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $3024$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $- 560$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $1024$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $- 560$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

Passaggio 14.5.3

Il lato sinistro di $3024$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 8$ Vero

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 8$ Vero

$x > 8$ Falso

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 8 < x < - 4$ o $4 < x < 8$

Passaggio 16

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

Passaggio 17