Precalcolo Esempi

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 \cdot 1 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 5 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4 + 9 - 7 + 2$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 4$ e $9$ .

$5 - 7 + 2$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $7$ da $5$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(9)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$5$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(2)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 2$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Passaggio 7.1.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$1 - 4 + 5 \cdot 1 - 2$

Passaggio 7.1.1.3.5

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 3 + 5 \cdot 1 - 2$

Passaggio 7.1.1.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 3 + 5 - 2$

Passaggio 7.1.1.3.7

Somma $- 3$ e $5$ .

$2 - 2$

Passaggio 7.1.1.3.8

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2}{x - 1}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ per $x - 1$ .

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Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$2$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Passaggio 7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 3 x + 2$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 7.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 1, 2$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 1) (x - 2)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2$ .

$x = 1, 2$

Passaggio 10