Precalcolo Esempi

$\frac{x}{(x + 2) (x + 5)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x + 5)$ per $1$ .

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $5$ alla sinistra di $A$ .

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B) (x + 2)$ per $1$ .

$x = A x + 5 A + (B) (x + 2)$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + 5 A + B x + B \cdot 2$

Passaggio 1.6.6

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$x = A x + 5 A + B x + 2 B$

Passaggio 1.7

Sposta $5 A$ .

$x = A x + B x + 5 A + 2 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 5 A + 2 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 5 A + 2 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 5 A + 2 B$ con $1 - B$ .

$0 = 5 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $5 (1 - B) + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$0 = 5 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 5 B$ e $2 B$ .

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 5 - 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $5 - 3 B = 0$ .

$5 - 3 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 B = - 5$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = - 5$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{5}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{5}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{3})$

$B = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{5}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{3 - 5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Sottrai $5$ da $3$ .

$A = \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{2}{3}, B = \frac{5}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{x + 2} + \frac{\frac{5}{3}}{x + 5}$