Precalcolo Esempi

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 20}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 20}$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 5$ .

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x + 5) (x^{2} + 4)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 5}$

Passaggio 1.3

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 5) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $6 x^{2} + 13 x + 31$ per $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{A (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + 4)$ per $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B x + C) (x + 5)$ per $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x + 5)$

Passaggio 1.7.5

Espandi $(B x + C) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x (x + 5) + C (x + 5)$

Passaggio 1.7.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C (x + 5)$

Passaggio 1.7.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Passaggio 1.7.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1.1

Sposta $x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Passaggio 1.7.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Passaggio 1.7.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $B x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) + C x + C \cdot 5$

Passaggio 1.7.6.3

Sposta $5$ alla sinistra di $C$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 B x + C x + 5 C$

Passaggio 1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta $B$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 x B + C x + 5 C$

Passaggio 1.8.2

Sposta $4 A$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + B x^{2} + 5 x B + C x + 4 A + 5 C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$13 = 5 B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$31 = 4 A + 5 C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $6 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $6 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $31 = 4 A + 5 C$ con $6 - B$ .

$31 = 4 (6 - B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$31 = 4 \cdot 6 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $6$ .

$31 = 24 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Passaggio 3.3

Riordina $6$ e $- B$ .

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$13 = 5 B + C$

Passaggio 3.4

Risolvi per $C$ in $13 = 5 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $5 B + C = 13$ .

$5 B + C = 13$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $5 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

Passaggio 3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $13 - 5 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $31 = 24 - 4 B + 5 C$ con $13 - 5 B$ .

$31 = 24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica $24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$31 = 24 - 4 B + 5 \cdot 13 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $13$ .

$31 = 24 - 4 B + 65 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.5.2.1.1.3

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.5.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Somma $24$ e $65$ .

$31 = - 4 B + 89 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Sottrai $25 B$ da $- 4 B$ .

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.6

Risolvi per $B$ in $31 = - 29 B + 89$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $- 29 B + 89 = 31$ .

$- 29 B + 89 = 31$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $89$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 29 B = 31 - 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.6.2.2

Sottrai $89$ da $31$ .

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $- 29$ ciascun termine in $- 29 B = - 58$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $- 29$ ciascun termine in $- 29 B = - 58$ .

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 29$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.3.1

Dividi $- 58$ per $- 29$ .

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = 13 - 5 B$ con $2$ .

$C = 13 - 5 \cdot 2$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica $13 - 5 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$C = 13 - 10$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.7.2.1.2

Sottrai $10$ da $13$ .

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B + 6$ con $2$ .

$A = - (2) + 6$

$C = 3$

$B = 2$

Passaggio 3.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Semplifica $- (2) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$A = - 2 + 6$

$C = 3$

$B = 2$

Passaggio 3.7.4.1.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

Passaggio 3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 4, C = 3, B = 2$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $x$ .

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$