Precalcolo Esempi

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1

Utilizza la definizione di coseno per trovare i lati noti del triangolo rettangolo nella circonferenza unitaria. Il quadrante determina il segno di ognuno dei valori.

$\cos (2 θ) = \frac{adiacente}{ipotenusa}$

Passaggio 2

Trova il lato opposto del triangolo sulla circonferenza unitaria. Dato che il lato adiacente e l'ipotenusa sono noti, usa il teorema di Pitagora per trovare il lato rimanente.

$Opposto = \sqrt{{ipotenusa}^{2} - {adiacente}^{2}}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti all'interno dell'equazione.

$Opposto = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica l'interno del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

Opposto $= \sqrt{4 - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

Opposto $= \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

Opposto $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2})}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

Opposto $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Opposto $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Somma $2$ e $1$ .

Opposto $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

Opposto $= \sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

Opposto $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Opposto $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

Opposto $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

Opposto $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

Opposto $= \sqrt{4 - 3}$

Passaggio 4.5.5

Calcola l'esponente.

Opposto $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

Opposto $= \sqrt{4 - 3}$

Passaggio 4.7

Sottrai $3$ da $4$ .

Opposto $= \sqrt{1}$

Passaggio 4.8

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

Opposto $= 1$

Passaggio 5

Trova il valore del seno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Utilizza la definizione di seno per trovare il valore di $\sin (2 θ)$ .

$\sin (2 θ) = \frac{opp}{hyp}$

Passaggio 5.2

Sostituisci con i valori noti.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il valore della tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Utilizza la definizione di tangente per trovare il valore di $\tan (2 θ)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{opp}{adj}$

Passaggio 6.2

Sostituisci con i valori noti.

$\tan (2 θ) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il valore di $\tan (2 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Passaggio 6.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\tan (2 θ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 6.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 6.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 6.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 7

Trova il valore della cotangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Utilizza la definizione di cotangente per trovare il valore di $\cot (2 θ)$ .

$\cot (2 θ) = \frac{adj}{opp}$

Passaggio 7.2

Sostituisci con i valori noti.

$\cot (2 θ) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 7.3

Dividi $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Trova il valore della secante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Utilizza la definizione di secante per trovare il valore di $\sec (2 θ)$ .

$\sec (2 θ) = \frac{hyp}{adj}$

Passaggio 8.2

Sostituisci con i valori noti.

$\sec (2 θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il valore di $\sec (2 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sec (2 θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 8.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9

Trova il valore della cosecante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Utilizza la definizione di cosecante per trovare il valore di $\csc (2 θ)$ .

$\csc (2 θ) = \frac{hyp}{opp}$

Passaggio 9.2

Sostituisci con i valori noti.

$\csc (2 θ) = \frac{2}{1}$

Passaggio 9.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\csc (2 θ) = 2$

Passaggio 10

Questa è la soluzione per ogni valore trigonometrico.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (2 θ) = 2$