Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$ è indefinita.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{2 x + 3}$

Passaggio 5.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Riscrivi $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ come $- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Passaggio 5.1.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2

Espandi $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

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Passaggio 5.2.1

Nega $4 x^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{2}$

$2 x$

$1$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 6 x$

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$6$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x + 6$

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$
							-	$5$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- 2 x + 2 - \frac{5}{2 x + 3}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - 2 x + 2$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{3}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - 2 x + 2$

Passaggio 7