Precalcolo Esempi

$\sqrt{2 n - 7} = - 2 - \sqrt{9 - n}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 n - 7}}^{2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 n - 7}$ come ${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 n - 7)}^{1} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$2 n - 7 = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$ come $(- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$ .

$2 n - 7 = (- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 n - 7 = - 2 (- 2 - \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} (- 2 - \sqrt{9 - n})$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 n - 7 = - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} (- 2 - \sqrt{9 - n})$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 n - 7 = - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$2 n - 7 = 4 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + 1 \sqrt{9 - n} \sqrt{9 - n}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{9 - n}$ per $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + \sqrt{9 - n} \sqrt{9 - n}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{9 - n}$ alla potenza di $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1} \sqrt{9 - n}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{9 - n}$ alla potenza di $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1} {\sqrt{9 - n}}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{9 - n}}^{2}$ come $9 - n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 - n}$ come ${(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.5

Semplifica.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + 9 - n$

Passaggio 2.3.1.3.2

Somma $4$ e $9$ .

$2 n - 7 = 13 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} - n$

Passaggio 2.3.1.3.3

Somma $2 \sqrt{9 - n}$ e $2 \sqrt{9 - n}$ .

$2 n - 7 = 13 + 4 \sqrt{9 - n} - n$

Passaggio 3

Risolvi per $4 \sqrt{9 - n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $13 + 4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7$ .

$13 + 4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $4 \sqrt{9 - n}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7 - 13$

Passaggio 3.2.2

Somma $n$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sqrt{9 - n} = 2 n - 7 - 13 + n$

Passaggio 3.2.3

Somma $2 n$ e $n$ .

$4 \sqrt{9 - n} = 3 n - 7 - 13$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $13$ da $- 7$ .

$4 \sqrt{9 - n} = 3 n - 20$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(4 \sqrt{9 - n})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 - n}$ come ${(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$16 {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$16 {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$16 {(9 - n)}^{1} = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica.

$16 (9 - n) = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$16 \cdot 9 + 16 (- n) = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Moltiplica $16$ per $9$ .

$144 + 16 (- n) = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$144 - 16 n = {(3 n - 20)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(3 n - 20)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(3 n - 20)}^{2}$ come $(3 n - 20) (3 n - 20)$ .

$144 - 16 n = (3 n - 20) (3 n - 20)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(3 n - 20) (3 n - 20)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$144 - 16 n = 3 n (3 n - 20) - 20 (3 n - 20)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$144 - 16 n = 3 n (3 n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n - 20)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$144 - 16 n = 3 n (3 n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 n \cdot n + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.2.1

Sposta $n$ .

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 (n \cdot n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 n^{2} + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 20$ per $3$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 60 n - 20 \cdot - 20$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 20$ per $- 20$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 60 n + 400$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $60 n$ da $- 60 n$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 120 n + 400$

Passaggio 6

Risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $n$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 n^{2} - 120 n + 400 = 144 - 16 n$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini contenenti $n$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $16 n$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 n^{2} - 120 n + 400 + 16 n = 144$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 120 n$ e $16 n$ .

$9 n^{2} - 104 n + 400 = 144$

Passaggio 6.3

Sottrai $144$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 n^{2} - 104 n + 400 - 144 = 0$

Passaggio 6.4

Sottrai $144$ da $400$ .

$9 n^{2} - 104 n + 256 = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ e la cui somma è $b = - 104$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Scomponi $- 104$ da $- 104 n$ .

$9 n^{2} - 104 n + 256 = 0$

Passaggio 6.5.1.2

Riscrivi $- 104$ come $- 32$ più $- 72$ .

$9 n^{2} + (- 32 - 72) n + 256 = 0$

Passaggio 6.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 n^{2} - 32 n - 72 n + 256 = 0$

Passaggio 6.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 n^{2} - 32 n) - 72 n + 256 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$n (9 n - 32) - 8 (9 n - 32) = 0$

Passaggio 6.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 n - 32$ .

$(9 n - 32) (n - 8) = 0$

Passaggio 6.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 n - 32 = 0$

$n - 8 = 0$

Passaggio 6.7

Imposta $9 n - 32$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Imposta $9 n - 32$ uguale a $0$ .

$9 n - 32 = 0$

Passaggio 6.7.2

Risolvi $9 n - 32 = 0$ per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Somma $32$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 n = 32$

Passaggio 6.7.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 n = 32$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 n = 32$ .

$\frac{9 n}{9} = \frac{32}{9}$

Passaggio 6.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 n}{9} = \frac{32}{9}$

Passaggio 6.7.2.2.2.1.2

Dividi $n$ per $1$ .

$n = \frac{32}{9}$

Passaggio 6.8

Imposta $n - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Imposta $n - 8$ uguale a $0$ .

$n - 8 = 0$

Passaggio 6.8.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$n = 8$

Passaggio 6.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 n - 32) (n - 8) = 0$ vera.

$n = \frac{32}{9}, 8$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{2 n - 7} = - 2 - \sqrt{9 - n}$ vera.

$Nessuna soluzione$