Precalcolo Esempi

$f (x) = 9 x^{2}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 9 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 9 ((x + h) (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 9 (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 9 (2 h x) + 9 h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$

Passaggio 2.1.2.6

La risposta finale è $9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $9 x^{2}$ .

$18 h x + 9 h^{2} + 9 x^{2}$

Passaggio 2.2.2

Riordina $18 h x$ e $9 h^{2}$ .

$9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

$f (x) = 9 x^{2}$

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

$f (x) = 9 x^{2}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - (9 x^{2})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Riscrivi $9 h^{2}$ come ${(3 h)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h)}^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h)}^{2} + 18 h x + {(3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.1.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$18 h x = 2 \cdot (3 h) \cdot (3 x)$

Passaggio 4.1.1.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{{(3 h)}^{2} + 2 \cdot (3 h) \cdot (3 x) + {(3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.1.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 3 h$ e $b = 3 x$ .

$\frac{{(3 h + 3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h + 3 x)}^{2} - {(3 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 h + 3 x$ e $b = 3 x$ .

$\frac{(3 h + 3 x + 3 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{(3 h + 6 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $3$ da $3 h + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $3 h$ .

$\frac{(3 h + 6 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Passaggio 4.1.4.2.2

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{(3 h + 3 (2 x)) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Passaggio 4.1.4.2.3

Scomponi $3$ da $3 h + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 3 x - 3 x)}{h}$

Passaggio 4.1.5

Combina i termini opposti in $3 h + 3 x - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 0)}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $3 h$ e $0$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h)}{h}$

$\frac{3 (h + 2 x) \cdot 3 h}{h}$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 (h + 2 x) h}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (h + 2 x) h}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $9 (h + 2 x)$ per $1$ .

$9 (h + 2 x)$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 h + 9 (2 x)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$9 h + 18 x$

Passaggio 4.2.3.2

Riordina $9 h$ e $18 x$ .

$18 x + 9 h$

Passaggio 5