Precalcolo Esempi

$3 y^{2} - 2 y + x + 1 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $3 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y + x + 1 = - 3 y^{2}$

Passaggio 1.1.2

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + 1 = - 3 y^{2} + 2 y$

Passaggio 1.1.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3 y^{2} + 2 y - 1$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- 3 y^{2} + 2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{- 3}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$e = - 1 - \frac{4}{- 12}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $- 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 12}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - 1 - \frac{1}{- 3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - 1 - - \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 1.2.4.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$e = - 1 + \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e = \frac{- 3 + 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$e = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{2}{3}$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$ .

$- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Passaggio 2

Usa la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Passaggio 5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{12}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$y = \frac{1}{3}$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{7}{12}$

Passaggio 9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a sinistra

Vertice: $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Fuoco: $(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Asse di simmetria: $y = \frac{1}{3}$

Direttrice: $x = - \frac{7}{12}$

Passaggio 10