Precalcolo Esempi

$y^{2} + 6 y - 8 x - 31 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y - 8 x - 31 = - y^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 x - 31 = - y^{2} - 6 y$

Passaggio 1.1.1.3

Somma $31$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 8$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (4)} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 4} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{31}{- 8}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - \frac{31}{8}$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.3.2.2

$2$ e $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Passaggio 1.2.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Passaggio 1.2.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Passaggio 1.2.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

Passaggio 1.2.3.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.5.1

Scomponi $4$ da $1 \cdot 4$ .

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$d = 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4}{8}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{16} \cdot 2)$

Passaggio 1.2.4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 (8)} \cdot 2)$

Passaggio 1.2.4.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Passaggio 1.2.4.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{9}{8}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 31 - 9}{8}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Sottrai $9$ da $- 31$ .

$e = \frac{- 40}{8}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Dividi $- 40$ per $8$ .

$e = - 5$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$

Passaggio 1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y + 3)}^{2} - 5$

Passaggio 2

Usa la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 5$

$k = - 3$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 5, - 3)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 2$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, - 3)$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 3$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - 7$

Passaggio 9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 5, - 3)$

Fuoco: $(- 3, - 3)$

Asse di simmetria: $y = - 3$

Direttrice: $x = - 7$

Passaggio 10