Precalcolo Esempi

${(x + 2 y)}^{6}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

È possibile usare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla retta $n + 1$ del triangolo. Per ${(x + 2 y)}^{6}$ , $n = 6$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla retta $7$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $x$ e $b$ $2 y$ nell'espressione.

$1 {(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(x)}^{6}$ per $1$ .

${(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$x^{6} (2^{0} y^{0}) + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2^{0} x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.8

Semplifica.

$x^{6} + 6 x^{5} (2 y) + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{6} + 6 \cdot 2 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.11

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 x^{4} (2^{2} y^{2}) + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.12

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 2^{2} x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 4 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $15$ per $4$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.15

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} (2^{3} y^{3}) + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.16

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 2^{3} x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.17

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 8 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $20$ per $8$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.19

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} (2^{4} y^{4}) + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.20

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 2^{4} x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.21

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 16 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.22

Moltiplica $15$ per $16$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.23

Semplifica.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.24

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x (2^{5} y^{5}) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.25

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 2^{5} x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.26

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 32 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.27

Moltiplica $6$ per $32$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.28

Moltiplica ${(x)}^{0}$ per $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.29

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.30

Moltiplica ${(2 y)}^{6}$ per $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(2 y)}^{6}$

Passaggio 4.31

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 2^{6} y^{6}$

Passaggio 4.32

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 64 y^{6}$