Precalcolo Esempi

${(x - 3 y)}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile usare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla retta $n + 1$ del triangolo. Per ${(x - 3 y)}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla retta $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $x$ e $b$ $- 3 y$ nell'espressione.

$1 {(x)}^{5} {(- 3 y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(x)}^{5}$ per $1$ .

${(x)}^{5} {(- 3 y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $- 3 y$ .

$x^{5} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(- 3)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.8

Semplifica.

$x^{5} + 5 x^{4} (- 3 y) + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} + 5 \cdot - 3 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.11

Applica la regola del prodotto a $- 3 y$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 x^{3} ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.12

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 \cdot {(- 3)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.13

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 \cdot 9 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $10$ per $9$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.15

Applica la regola del prodotto a $- 3 y$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.16

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 \cdot {(- 3)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.17

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 \cdot - 27 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $10$ per $- 27$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.19

Semplifica.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 x {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.20

Applica la regola del prodotto a $- 3 y$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 x ({(- 3)}^{4} y^{4}) + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.21

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 \cdot {(- 3)}^{4} x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.22

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 \cdot 81 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.23

Moltiplica $5$ per $81$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.24

Moltiplica ${(x)}^{0}$ per $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.25

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + 1 {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.26

Moltiplica ${(- 3 y)}^{5}$ per $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(- 3 y)}^{5}$

Passaggio 4.27

Applica la regola del prodotto a $- 3 y$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(- 3)}^{5} y^{5}$

Passaggio 4.28

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} - 243 y^{5}$