Precalcolo Esempi

$x \leq 15 - 2 x^{2}$

Passaggio 1

Aggiungi $2 x^{2}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x + 2 x^{2} \leq 15$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x + 2 x^{2} = 15$

Passaggio 3

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + 2 x^{2} - 15 = 0$

Passaggio 4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$u + 2 u^{2} - 15 = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.2.1

Riordina i termini.

$2 u^{2} + u - 15 = 0$

Passaggio 4.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 15 = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi $1$ come $- 5$ più $6$ .

$2 u^{2} + (- 5 + 6) u - 15 = 0$

Passaggio 4.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 5 u + 6 u - 15 = 0$

Passaggio 4.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 u^{2} - 5 u) + 6 u - 15 = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 5) + 3 (2 u - 5) = 0$

Passaggio 4.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 5$ .

$(2 u - 5) (u + 3) = 0$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 6

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 x - 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 5$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 7

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 5) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{5}{2}, - 3$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$- 6 \leq 15 - 2 {(- 6)}^{2}$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 6$ è maggiore del lato destro di $- 57$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$0 \leq 15 - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $15$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$5 \leq 15 - 2 {(5)}^{2}$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $5$ è maggiore del lato destro di $- 35$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Vero

$x > \frac{5}{2}$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Vero

$x > \frac{5}{2}$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x \leq \frac{5}{2}$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[- 3, \frac{5}{2}]$

Passaggio 13