Precalcolo Esempi

$x > - \frac{3}{x - 4}$

Passaggio 1

Aggiungi $\frac{3}{x - 4}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x + \frac{3}{x - 4} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $x + \frac{3}{x - 4}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} + \frac{3}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (x - 4) + 3}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.3.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 3}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.3.4

Scomponi $x^{2} - 4 x + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 2.3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 3$

$x = 1$

$x = 4$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 3, 1, 4$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 4 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1$

$1 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$0 > - \frac{3}{(0) - 4}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $0$ non è maggiore del lato destro di $0.75$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$2 > - \frac{3}{(2) - 4}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $1.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3.5$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $3.5$ nella diseguaglianza originale.

$3.5 > - \frac{3}{(3.5) - 4}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $3.5$ non è maggiore del lato destro di $6$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$6 > - \frac{3}{(6) - 4}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $6$ è maggiore del lato destro di $- 1.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Vero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Vero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$1 < x < 3$ o $x > 4$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(1, 3) \cup (4, \infty)$

Passaggio 14