Precalcolo Esempi

$2 x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 21$

Passaggio 1

Aggiungi $4 x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 21$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 21$

Passaggio 3

Sottrai $21$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Passaggio 4

Scomponi $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 4.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

Passaggio 4.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$2 \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Passaggio 4.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 27 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $27$ .

$54 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Passaggio 4.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$54 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 21$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $- 5$ per $9$ .

$54 - 45 + 4 \cdot 3 - 21$

Passaggio 4.3.6

Sottrai $45$ da $54$ .

$9 + 4 \cdot 3 - 21$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $4$ per $3$ .

$9 + 12 - 21$

Passaggio 4.3.8

Somma $9$ e $12$ .

$21 - 21$

Passaggio 4.3.9

Sottrai $21$ da $21$ .

$0$

Passaggio 4.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21}{x - 3}$

Passaggio 4.5

Dividi $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ per $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$21$

Passaggio 4.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Passaggio 4.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Passaggio 4.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 4.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 4.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 4.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 4.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 4.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$

Passaggio 4.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Passaggio 4.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Passaggio 4.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							+	$7 x$	-	$21$

Passaggio 4.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x - 21$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$

Passaggio 4.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$
										$0$

Passaggio 4.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + x + 7$

Passaggio 4.6

Scrivi $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ come insieme di fattori.

$(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Passaggio 6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

Imposta $2 x^{2} + x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $2 x^{2} + x + 7$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $2 x^{2} + x + 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 1$ e $c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.1.3

Sottrai $56$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.1.4

Riscrivi $- 55$ come $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (55)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.4.1.3

Sottrai $56$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.4.1.4

Riscrivi $- 55$ come $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (55)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{55})}{4}$

Passaggio 7.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{55})}{4}$

Passaggio 7.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.5.1.3

Sottrai $56$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.5.1.4

Riscrivi $- 55$ come $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (55)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{55})}{4}$

Passaggio 7.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{55})}{4}$

Passaggio 7.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 3$

Passaggio 10

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 3]$

Passaggio 11