Precalcolo Esempi

$3 x^{3} - 48 x < x^{2} - 16$

Passaggio 1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 x^{3} - 48 x - x^{2} < - 16$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$3 x^{3} - 48 x - x^{2} = - 16$

Passaggio 3

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{3} - 48 x - x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16 = 0$

Passaggio 4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16 = 0$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1) = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Passaggio 4.4

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Passaggio 4.5

Scomponi.

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Passaggio 4.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(3 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 4.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 6

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 7

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 8

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, - 4, 4$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(- 6)}^{3} - 48 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 16$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 360$ è minore del lato destro di $20$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(0)}^{3} - 48 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 16$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $0$ non è minore del lato destro di $- 16$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 16$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $- 72$ è minore del lato destro di $- 12$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(6)}^{3} - 48 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 16$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $360$ non è minore del lato destro di $20$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 4$ o $\frac{1}{3} < x < 4$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{1}{3}, 4)$

Passaggio 14