Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20} \geq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + 9 x + 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $20$ e la cui somma è $9$ .

$4, 5$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = - 4, - 5$

Passaggio 7

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 5, 4$

Passaggio 7.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 9

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 10

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 5, - 4$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 4, - 5$

$x = 5, - 4$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$x = - 4, - 5, 5, - 4$

Passaggio 14

Trova il dominio di $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 5, 4$

Passaggio 14.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Passaggio 14.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 14.2.3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 14.2.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 14.2.4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 14.2.4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 14.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 5, - 4$

Passaggio 14.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 15

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 16

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 16.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 16.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 20} \geq 0$

Passaggio 16.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{230769}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 16.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4.5$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - (- 4.5) - 20} \geq 0$

Passaggio 16.2.3

Il lato sinistro di $- 0.05263157$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 16.3

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 16.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - (0) - 20} \geq 0$

Passaggio 16.3.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 16.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 16.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(8)}^{2} + 9 (8) + 20}{{(8)}^{2} - (8) - 20} \geq 0$

Passaggio 16.4.3

Il lato sinistro di $4.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 16.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 5$ o $x > 5$

Passaggio 18

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 5] \cup (5, \infty)$

Passaggio 19