Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + 2 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $2$ .

$- 2, 4$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, - 4$

Passaggio 7

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 16$

Passaggio 8

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 9

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

Passaggio 10

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 10.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Passaggio 10.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

Passaggio 10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Passaggio 11

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 2, - 4$

$x = 4, - 4$

Passaggio 12

Consolida le soluzioni.

$x = 2, - 4, 4, - 4$

Passaggio 13

Trova il dominio di $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ .

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Passaggio 13.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 16 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 16$

Passaggio 13.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 13.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Passaggio 13.2.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 13.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

Passaggio 13.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 13.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Passaggio 13.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

Passaggio 13.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Passaggio 13.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 14

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8}{{(- 6)}^{2} - 16} < 0$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $0.8$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 15.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8}{{(0)}^{2} - 16} < 0$

Passaggio 15.2.3

Il lato sinistro di $0.5$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(3)}^{2} + 2 (3) - 8}{{(3)}^{2} - 16} < 0$

Passaggio 15.3.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 15.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 15.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} + 2 (6) - 8}{{(6)}^{2} - 16} < 0$

Passaggio 15.4.3

Il lato sinistro di $2$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 16

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x < 4$

Passaggio 17

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(2, 4)$

Passaggio 18