Precalcolo Esempi

$f (x) = 9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$

Passaggio 1

Imposta $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ uguale a $0$ .

$9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 0.\overline{4}, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $0.\overline{3}$ nel polinomio.

$9 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 9 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$9 \cdot 0.\overline{037} + 9 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $9$ per $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{3} + 9 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 2.1.1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$0.\overline{3} + 9 \cdot 0.\overline{1} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $9$ per $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 1 - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 2.1.1.3.6

Somma $0.\overline{3}$ e $1$ .

$1.\overline{3} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 2.1.1.3.7

Moltiplica $- 16$ per $0.\overline{3}$ .

$1.\overline{3} - 5.33333333 + 4$

Passaggio 2.1.1.3.8

Sottrai $5.33333333$ da $1.\overline{3}$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 2.1.1.3.9

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4}{3 x - 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ per $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$16 x$

$4$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			+	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x^{2} - 4 x$

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$
							-	$12 x$	+	$4$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x + 4$

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$
							+	$12 x$	-	$4$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$
							+	$12 x$	-	$4$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} + 4 x - 4$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ come insieme di fattori.

$(3 x - 1) (3 x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e la cui somma è $b = 4$ .

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Passaggio 2.1.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$(3 x - 1) (3 x^{2} + 4 (x) - 4) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Riscrivi $4$ come $- 2$ più $6$ .

$(3 x - 1) (3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x - 1) ((3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(3 x - 1) (x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 2$ .

$(3 x - 1) ((3 x - 2) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 1) (3 x - 2) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (3 x - 2) (x + 2) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, - 2$

Passaggio 3