Precalcolo Esempi

$\log_{5} (2 x - 1)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{5} (2 y - 1) = x$ .

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{5} (2 y - 1) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y - 1$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 y - 1 = 5^{x}$ .

$2 y - 1 = 5^{x}$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = 5^{x} + 1$

Passaggio 2.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 5^{x} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 5^{x} + 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

Passaggio 4.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Passaggio 4.2.5

Combina i termini opposti in $2 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.6.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 4.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 4.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Passaggio 4.3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $5^{x} + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $5^{x}$ e $0$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Passaggio 4.3.5

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

Passaggio 4.3.6

Il logaritmo in base $5$ di $5$ è $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$