Precalcolo Esempi

$y = 2^{x} - 3$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 2^{y} - 3$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2^{y} - 3 = x$ .

$2^{y} - 3 = x$

Passaggio 2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2^{y} = x + 3$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{y}) = \ln (x + 3)$

Passaggio 2.4

Espandi $\ln (2^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$

Passaggio 2.5

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{x} - 3$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (2^{x} - 3)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in $2^{x} - 3 + 3$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $2^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}} - 3$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.3.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 3)} - 3$

Passaggio 4.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 3 - 3$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $x + 3 - 3$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$