Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} + x - 12 = 0$

Passaggio 2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 9$

Passaggio 3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 6

Scomponi $x^{2} + x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $1$ .

$- 3, 4$

Passaggio 6.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 8

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 9

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 3, - 4$

Passaggio 11

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 3, - 3$

$x = 3, - 4$

Passaggio 12

Consolida le soluzioni.

$x = 3, - 3, 3, - 4$

Passaggio 13

Trova il dominio di $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ .

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Passaggio 13.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 13.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $1$ .

$- 3, 4$

Passaggio 13.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Passaggio 13.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 13.2.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.2.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 13.2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 13.2.4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.2.4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 13.2.4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 13.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 3, - 4$

Passaggio 13.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 14

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 9}{{(- 6)}^{2} - 6 - 12} < 0$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $1.5$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3.5$

Passaggio 15.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 3.5)}^{2} - 9}{{(- 3.5)}^{2} - 3.5 - 12} < 0$

Passaggio 15.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 15.3

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} - 9}{{(0)}^{2} + 0 - 12} < 0$

Passaggio 15.3.3

Il lato sinistro di $0.75$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 15.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} - 9}{{(6)}^{2} + 6 - 12} < 0$

Passaggio 15.4.3

Il lato sinistro di $0.9$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Falso

Passaggio 16

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 < x < - 3$

Passaggio 17

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 4, - 3)$

Passaggio 18